APLICACIÓN DE PRINCIPIOS BÁSICOS DE INGENIERÍA QUÍMICA

 PARTE III: APLICACIÓN DE LA INTEGRAL. CÁLCULO DEL ÁREA DE UN SEGMENTO DE CIRCUNFERENCIA

Si este blog recibiera una visita cada vez que alguien cuestiona la necesidad de aprender a determinar la integral de una función, sería sin duda el sitio mas visitado en la red. Estas definiciones o métodos matemáticos (integral, derivada, límite, entre otras) encuentran aplicaciones mucho más complejas que la que a continuación les describiré, sin embargo este es un caso práctico y sencillo que les demuestra que en el momento menos pensado pueden necesitar aplicar uno de estos métodos matemáticos. Desde mi punto de vista el estudio de las matemáticas al nivel que lo hacemos los ingenieros nos proporciona como mayor beneficio una mejor capacidad de análisis de los problemas, definitivamente nos enseña a pensar. Aprovecho la oportunidad para también invitarlos a que le presten especial atención al estudio de la Física, la ciencia que nos describe el comportamiento de la materia y la energía, conozcan su historia y disfruten de las prácticas del laboratorio procurando ubicarse en la época en la que fueron desarrollados los principios de esta ciencia. Piensen que por algo esas materias se dictan en el departamento de Cursos BÁSICOS (sinónimo de básico: fundamental).

La mayor parte de mi experiencia adquirida en la industria petrolera ha sido en la ejecución de proyectos, lo que involucra, entre otras muchas cosas, llevar a cabo el diseño de los equipos de proceso (intercambiadores de calor, hornos, separadores, bombas, etc.). Para el caso de los separadores líquido-vapor horizontales (estos son recipientes cilíndricos dispuestos de manera horizontal), el cual es un equipo que se encuentra con mucha frecuencia en las plantas de proceso, el diseño del mismo debe tener dos características fundamentales que aseguren su buen funcionamiento. Una de ellas es poseer suficiente área disponible para el vapor de manera que no exista arrastre de líquido en esta fase. Por otra parte, el equipo debe proveer suficiente tiempo de residencia para el líquido. Este último factor obedece a varios factores que escapan del alcance de este artículo. El producto del tiempo de residencia establecido para el diseño y la tasa de flujo de salida del líquido determinan el volumen del recipiente que estará ocupado por esta fase. La variable que se utiliza para la supervisión y control de estos equipos durante su operación es la altura de líquido en lugar del volumen. Una vez diseñado el equipo (básicamente longitud y diámetro), el ingeniero de procesos debe definir la altura de líquido que se debe mantener dentro del recipiente. Esta información es suministrada al ingeniero de instrumentación y control, el cual se encarga de definir el sistema necesario para que se mantenga el nivel establecido.

¿Cómo determinamos el volumen de líquido en un cilindro a partir de la altura (fig.1 )?  Cuándo tuve que realizar este cálculo por primera vez, no tenía toda la información que a lo largo de mi carrera he logrado recopilar, por lo tanto no encontré otra opción más que “ingeniármelas” (como un buen ingeniero siempre debe hacer). La figura 1 muestra un corte transversal de un cilindro y el segmento sombreado representa el nivel de líquido dentro del recipiente. Por definición, si se calcula el área sombreada de la figura 1 y se multiplica por la longitud del recipiente, se obtiene el volumen del líquido.

 Figura 1      

La longitud y la altura de líquido son valores conocidos, por lo que el problema se reduce a determinar el área sombreada. Para simplificar la explicación, veamos la figura 2. En esta figura se muestra la misma sección transversal del cilindro pero enmarcada en unos ejes cartesianos.

 Figura 2  

¿Alguna idea de cómo determinar el área sombreada? Si aún no se les ocurre cómo determinar el área, vean la figura 3.

 Figura 3   

 ¿Ahora? Bueno, última pista: ¡Cálculo del área bajo la curva! ¡Exacto! La integral. Todavía conservo las hojas donde resolví este problema, las he digitalizado y aquí se las dejo. (nota: la ecuación que se obtiene en las figuras 4 y 5 se utiliza cuando la altura del líquido es menor al radio del cilindro, sin embargo aplicando un poco mas de ingenio puede utilizarse también en el caso en que la altura sea mayor al radio).

 

Figura 4

 Figura 5